Notas de clase: Sistemas Lineales

Clase 1: Presentación del curso

Clase 2: Repaso de ecuaciones diferenciales ordinarias

Definiciones

1. Ecuación diferencial: Ecuación que contiene derivadas
2. Ecuación diferenciales ordinarias: Aplicación de las ecuaciones diferenciales a sistemas donde los parámetros son concentrados (todas las propiedades del sistema se resumen a un punto, es decir, se minimizan las variables independientes necesarias). Ejemplo:
3. Ecuaciones diferenciales parciales: Aplicación a sistemas con parámetros distribuidos (las propiedades del sistema requieren más de una variable para expresarse)
4. Ecuaciones lineales: Se dice que una ecuación diferencial de n-ésimo orden es lineal si es lineal en . Dicho de otra forma, la ecuación diferencial de n-ésimo orden es lineal si tiene la forma .
5. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes: Se les conoce como LTI (Linear-Time-Invariant). Los coeficientes que acompañan a la variable dependiente no cambian con el tiempo, por tanto, son de la forma Existen métodos analíticos para resolver estas ecuaciones. El término tiene significado como la entrada del sistema.
6. Problema de valor inicial: Es un problema de la forma
7. Solución general de un problema de valor inicial: Se calcula la solución general como la suma de la solución de la ecuación complementaria homogénea () y una solución particular de la ecuación no homogénea (). De forma tal, la solución general viene dada por .
8. Solución de la ecuación homogénea (): Se obtiene el polinomio característico y se resuelve para obtener los valores característicos. Debe lidiarse con los casos de valores característicos reales diferentes, complejos diferentes y raíces múltiples. El polinomio característico de es de la forma .
9. Solución de la ecuación no homogénea: Se puede resolver aplicando el método de coeficientes indeterminados (método especial pero simple) o el método de variación de parámetros (método general pero complejo). Para ambos métodos consultar el libro de Dennis G. Zill & Warren S. Wright.

Ejemplos

1) La ecuación diferencial como definición de un campo vectorial

t=-3:0.5:12; y=-3:0.5:12; % define grid of values in t and y directions

[T,Y]=meshgrid(t,y); % creates 2d matrices

dT=ones(size(T)); % dt=1 for all points

dY=27-3*Y; % dy=(t^2-y)*dt: this is the ODE

N=sqrt(dT.^2+dY.^2); % magnitude of arrows

dT=dT./N; % normalize arrows to get all same length

dY=dY./N;

figure(1)

clf

quiver(T,Y,dT,dY) % draw arrows (t,y) --> (t+dt,y+dy)

axis equal

axis([-4 13 -4 13]) % repeat adjustments...

grid on

hold on

C1=8;

y=9-C1*exp(-3*t);

plot(t,y,'r','LineWidth',2);

hold off

xlabel('t')

ylabel('y(t)')

2) Solución de ecuación homogénea

syms y(x)

ode=diff(y,6)+4*diff(y,5)+7*diff(y,4)+6*diff(y,3)+2*diff(y,2)==0

ode(x) = 

ySol(x) = dsolve(ode)

ySol(x) = 

3) Solución de ecuación no homogénea

ode2=diff(y,2)+4*diff(y)+4*y==x+2*exp(-2*x)

ode2(x) = 

ySol2(x) = simplify(dsolve(ode2))

ySol2(x) = 

y_0=2; y_1=3;

conds = [y(0)==y_0; y(1)==y_1];

ySol3(x)=dsolve(ode2,conds)

ySol3(x) = 

Clase 3: Ecuaciones en diferencias

Definiciones

1. Ecuación en diferencias: Es una ecuación que contiene diferencias (Δ).
2. Diferencias hacia adelante: ,
3. Diferencias hacia atrás: ,
4. Forma canónica de una ecuación en diferencias hacia adelante: Se obtiene luego de simplificar Δ y reemplazar T,
5. Forma canónica de una ecuación en diferencias hacia atrás: Se obtiene luego de simplificar Δ y reemplazar T,

Ecuación en diferencias a partir de una ecuación diferencial:

Supongamos que deseamos discretizar la ecuación , para ello debemos notar que (diferencias hacia atrás) y por ende podemos reescribir la ecuación como , de forma tal, el problema original se convierte en

Ejemplo: Ecuación en diferencias hacia atrás de orden 2

Resolver la ecuación en diferencias dada por

Comparación entre solución discretizada y la solución de la ecuación diferencial discretizada

Supongamos que tenemos la ecuación , al discretizar con T llegamos a la expresión . Para resolver esta ecuación en el intervalo podemos implementar el siguiente código

T=0.21;

a=1;

y_0=-4;

time=0:T:10;

%%%% Solución continua

syms y(t)

ode = diff(y)+a*y-exp(-t)==0

ode(t) = 

cond = y(0)==y_0;

ySol(t)=dsolve(ode,cond)

ySol(t) = 

%%%% Solución discreta

yDis=t;

yCont=yDis;

yDis(1)=y_0;

for k=[1:length(time)-1]+1

yDis(k)=(1-a*T)*yDis(k-1)+T*exp(-T*(k-1));

end

%%%%%%% Comparación entre soluciones

figure(1)

clf

fplot(ySol,[0 10])

grid on

hold on

stem(time,vpa(yDis))

xlabel('t')

ylabel('y')

legend({'Continuous','Discrete'})

T implícito vs T explícito

Una vez se ha obtenido la ecuación en diferencias a partir de la ecuación diferencial es posible omitir el instante en el tiempo y concentrarse solo en el número de muestreo actual (T implícito). Para graficar adecuadamente es necesario recordar que .

Solución analítica de una ecuación en diferencias

De la misma forma que se pueden solucionar las ecuaciones diferenciales LTI, es posible plantear un problema de autovalores para las ecuaciones en diferencias. Sea tal solución , reemplazamos en la ecuación en diferencias para obtener , ahora, introduciendo el cambio de variable tenemos que , lo cual se cumplirá para . Resta notar entonces que para encontrar las soluciones de la ecuación.

Primer ejemplo de solución analítica

Segundo ejemplo de solución analítica: lambda imaginario

Tercer ejemplo de solución analítica: Ceros que no tienen sentido

Clase 4: Transformada de Laplace

Definición: Transformada de Laplace

Transformadas básicas transformada de Laplace

Propiedades básicas transformada de Laplace

Clases 5 y 6: Transformada Z

Concepto de función muestreada

A partir de una función cualquiera , definiremos la función muestreada con intervalo de muestreo T como se sigue

Debe ser claro que

Transformada Z

, ahora, haciendo el cambio de variable , llegamos a que

, adicionalmente, sabiendo que T actúa como una variable muda se sigue que podemos asumir y considerar

Transformadas básicas

Propiedades operacionales

Transformada Z inversa

1. Método de la serie infinita de potencias: Se procede mediante división larga. Los coeficientes de la división corresponden con los valores de la función en cada instante de muestreo.
2. Desarrollo en fracciones parciales: Se debe garantizar que cada fracción parcial sea una función propia. De forma tal, buscamos reconocer estructuras a partir de las cuales aplicar la tabla de transformadas básicas y propiedades operacionales.
3. Integral de inversión: Es posible calcular la transformada inversa por definición, sin embargo, será necesario resolver una integral compleja por el teorema del residuo de Cauchy. Este método no se utiliza en clase.

Solución de ecuaciones en diferencias aplicando transformada Z en MatLab

Solución mediante fracciones parciales

clear;clc

%y(k+3)+0.8*y(k+2)==0 % y(0)=1, y(1)=0, and y(2)=1.

syms y(k) z %se declara la función simbólica y(k) y la variable simbólica z

assume(k>=0 & in(k,'integer')) % se establece que k es entero mayor o igual a 0

f = y(k+3)+0.8*y(k+2)==0 % se declara la ecuación en diferencias

f = 

fZT = ztrans(f,k,z) %transformada z de la ecuación en diferencias, la variable k pasa a z

fZT = 

syms pZT %variable para resolver la ecuación

fZT = subs(fZT,ztrans(y(k),k,z),pZT) % se sustituyen las expresiones de Y(z) por la variable simbólica pZT

fZT = 

pZT = solve(fZT,pZT) % se soluciona la ecuación para pZT=Y(Z)

pZT = 

pZT = subs(pZT,[y(0) y(1) y(2)],[1 0 1]) % se sustituyen los valores de las condiciones iniciales para obtener la fracción Y(z)

pZT = 

pZT=partfrac(pZT) % esta línea de código ayuda a evidenciar la descomposición en fracciones parciales

pZT = 

ySol = iztrans(pZT,z,k) % se aplica la transformada inversa, la variable z pasa a k

ySol = 

ySol = simplify(ySol) % de ser posible se simplifica la expresión resultante, esta es la solución de la ecuación en diferencias

ySol = 

kValues = 0:10; %instantes de muestreo

T=0.2;% intervalo de muestreo

ySolValues = subs(ySol,k,kValues); %evaluamos los valores de k en la solución

ySolValues = double(ySolValues); % pasamos los valores de simbólico a variable numérica

ySolValues = real(ySolValues); % capturamos la parte real de los valores

figure(1)

clf

stem(kValues*T,ySolValues) %gráfica de la función discretizada

title('Solution of equation')

xlabel('t')

ylabel('y(kT)')

grid on

Solución mediante la serie infinita de potencias

Para resolver la ecuación mediante la serie infinita de potencias debemos aplicar la transformada Z y llegar a la expresión racional . Para el caso del ejemplo que estamos resolviendo tenemos que . Podemos aplicar la división larga para obtener los primeros 11 valores de la función (equivalentes a los puntos de la gráfica anterior) mediante la función ldiv desarrollada por Tamer Melik. El primer argumento que recibe esta función son los coeficientes del numerados, luego los coeficientes del denominador y finalmente el número de valores de la función por obtener

Clases 7 y 8: Introducción a las funciones de transferencia

clear;clc

x=[-4:0.001:4]; y=x; x1=x;

y1=zeros(1,length(x));

z=exp(y1+i*x1); th1=abs(z); rho1=angle(z);

figure(1), plot(y1,x1)

figure(2)

clf

polar(rho1,th1)

figure(1)

clf

Gd = tf([1 1 0],[1 0 -0.25],'Ts',1); step(Gd); axis([0,6,0,3])

Funciones adicionales para el curso